운동량은 질량과 속도의 곱으로 정의되며 외력이 없는 고립계에서 총 운동량은 보존됩니다. 이 법칙은 뉴턴의 운동 법칙에서 유도되며, 탄성 충돌과 비탄성 충돌을 분석하는 핵심 도구이고, 로켓 추진, 반동, 입자 물리학, 천체 역학에 필수적이며, 에너지 보존과 함께 자연의 가장 근본적인 대칭성을 나타냅니다.
뉴턴 법칙에서 유도되는 보존 법칙
운동량은 p = m·v로 정의됩니다. 질량과 속도의 곱입니다. 벡터량이므로 방향을 가집니다. 뉴턴 제2법칙은 원래 F = dp/dt로 표현됩니다. 힘은 운동량의 시간 변화율입니다. 질량이 일정하면 F = m·dv/dt = m·a가 됩니다. 하지만 로켓처럼 질량이 변하는 경우 원래 형태가 필요합니다. 뉴턴 제3법칙은 작용-반작용 법칙입니다. 두 물체가 상호작용하면 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 주고받습니다. F₁₂ = -F₂₁입니다. 이것으로 운동량 보존을 증명할 수 있습니다. 두 물체가 충돌한다고 가정합니다. 물체 1이 물체 2에 힘 F₁₂를 가하면 물체 2는 물체 1에 -F₁₂를 가합니다. dp₁/dt = F₁₂이고 dp₂/dt = -F₁₂입니다. 더하면 d(p₁+p₂)/dt = 0입니다. 총 운동량이 일정합니다. 외력이 없는 고립계에서 운동량이 보존됩니다. 우주에서 떠다니는 우주인이 물체를 던지면 반대 방향으로 밀려납니다. 총 운동량은 0으로 유지됩니다. 총을 쏘면 총알이 앞으로 가고 총이 뒤로 밀립니다. 반동입니다. 운동량 보존으로 반동 속도를 계산할 수 있습니다. 로켓은 연료를 뒤로 분사하여 앞으로 나아갑니다. 치올콥스키 로켓 방정식은 Δv = v_e·ln(m₀/m_f)입니다. 속도 변화는 배기 속도와 질량비의 로그에 비례합니다. 다단 로켓은 빈 연료통을 버려 질량비를 높입니다.
탄성 충돌과 비탄성 충돌의 역학
당구공 충돌과 에너지 보존
탄성 충돌은 운동 에너지가 보존되는 충돌입니다. 이상적인 당구공이나 원자 충돌이 탄성입니다. 1차원 탄성 충돌을 분석해봅시다. 질량 m₁인 물체가 속도 v₁으로 정지한 질량 m₂ 물체와 충돌합니다. 운동량 보존: m₁v₁ = m₁v₁' + m₂v₂'입니다. 에너지 보존: ½m₁v₁² = ½m₁v₁'² + ½m₂v₂'²입니다. 두 식을 풀면 v₁' = [(m₁-m₂)/(m₁+m₂)]v₁이고 v₂' = [2m₁/(m₁+m₂)]v₁입니다. 질량이 같으면 v₁' = 0, v₂' = v₁입니다. 완전히 속도를 교환합니다. 당구공 충돌이 이렇습니다. 무거운 물체가 가벼운 물체를 치면 v₂' ≈ 2v₁입니다. 두 배 속도로 날아갑니다. 가벼운 물체가 무거운 물체를 치면 튕겨 돌아옵니다. v₁' ≈ -v₁입니다. 벽에 공을 던지는 것과 같습니다. 2차원 충돌은 더 복잡합니다. 당구공을 비스듬히 치면 두 공이 각도를 이루며 분리됩니다. x, y 방향 운동량을 각각 보존해야 합니다. 당구의 모든 샷이 운동량 보존으로 설명됩니다. 프로 선수는 직관적으로 각도를 계산합니다. 뉴턴의 요람은 탄성 충돌을 시각화합니다. 여러 구슬이 줄에 매달려 있습니다. 한쪽 끝 구슬을 들어 놓으면 반대쪽 끝 구슬이 같은 높이로 튀어오릅니다. 중간 구슬은 정지합니다. 운동량과 에너지가 모두 보존됩니다.
완전 비탄성 충돌과 에너지 손실
비탄성 충돌은 운동 에너지 일부가 열, 소리, 변형 에너지로 전환됩니다. 운동량은 보존되지만 운동 에너지는 감소합니다. 완전 비탄성 충돌은 두 물체가 붙어 함께 움직이는 경우입니다. 자동차 충돌이 대표적입니다. 질량 m₁인 차가 속도 v₁로 정지한 질량 m₂ 차를 들이받아 함께 움직입니다. 운동량 보존: m₁v₁ = (m₁+m₂)v_f입니다. v_f = m₁v₁/(m₁+m₂)입니다. 질량이 커질수록 속도가 감소합니다. 초기 운동 에너지는 ½m₁v₁²입니다. 최종 운동 에너지는 ½(m₁+m₂)v_f² = ½m₁²v₁²/(m₁+m₂)입니다. 에너지 손실은 ΔE = ½m₁m₂v₁²/(m₁+m₂)입니다. 질량이 같으면 절반이 손실됩니다. 이 에너지가 변형과 열로 갑니다. 범퍼가 찌그러지고 금속이 뜨거워집니다. 충돌 안전 설계는 변형을 최대화하여 에너지를 흡수합니다. 크럼플 존이 충격을 흡수하여 탑승자를 보호합니다. 에어백도 충돌 시간을 늘려 힘을 줄입니다. 충격량은 Δp = F·Δt입니다. 운동량 변화는 힘과 시간의 곱입니다. 같은 운동량 변화라도 시간이 길면 힘이 작습니다. 낙하산, 매트, 번지점프 줄이 이 원리입니다. 반발 계수는 e = (v₂'-v₁')/(v₁-v₂)입니다. 분리 속도를 접근 속도로 나눈 값입니다. 완전 탄성 충돌은 e=1, 완전 비탄성은 e=0입니다. 대부분의 실제 충돌은 0과 1 사이입니다. 공을 떨어뜨리면 반발 계수로 튀어오르는 높이를 예측할 수 있습니다.
각운동량 보존과 회전 운동
각운동량은 L = r × p입니다. 위치와 운동량의 외적입니다. 회전 운동의 운동량입니다. 외부 토크가 없으면 각운동량이 보존됩니다. 피겨 스케이팅 선수가 팔을 오므리면 빠르게 회전합니다. 관성 모멘트가 감소하면 각속도가 증가합니다. L = I·ω가 일정하므로 I가 줄면 ω가 늘어납니다. 다이빙 선수도 몸을 웅크려 공중 회전을 빠르게 합니다. 지구-달 계도 각운동량을 보존합니다. 조석력으로 지구 자전이 느려지면 달이 멀어져 공전 각운동량이 증가합니다. 연간 3.8센티미터씩 멀어집니다. 자이로스코프는 회전하는 물체가 방향을 유지하는 현상입니다. 각운동량 보존 때문입니다. 팽이가 쓰러지지 않고 세차 운동을 합니다. 자전거나 오토바이가 달릴 때 안정적인 이유도 바퀴의 각운동량입니다. 중성자별은 각운동량 보존의 극단적 예입니다. 태양 크기 별이 붕괴하여 도시 크기로 줄어들면 회전 속도가 엄청나게 빨라집니다. 펄서는 초당 수백 번 회전합니다.
입자 물리학과 우주에서의 운동량 보존
입자 충돌은 운동량 보존으로 분석됩니다. 대형 강입자 충돌기 LHC에서 양성자를 광속에 가깝게 가속하여 충돌시킵니다. 수천 개 입자가 생성됩니다. 검출기가 모든 입자의 운동량을 측정합니다. 총 운동량이 보존되는지 확인하여 검증합니다. 누락된 운동량은 중성미자 같은 감지 안 되는 입자를 나타냅니다. 힉스 입자 발견도 운동량 보존 분석으로 확인되었습니다. 베타 붕괴는 중성자가 양성자, 전자, 반중성미자로 변환됩니다. 초기에는 중성미자를 몰랐습니다. 에너지와 운동량이 맞지 않았습니다. 1930년 파울리가 중성미자를 가정하여 보존 법칙을 구했습니다. 26년 후 발견되었습니다. 로켓 플룸 분석은 배기 가스 운동량으로 추력을 계산합니다. 이온 엔진은 이온을 고속으로 방출하여 미세한 추력을 오래 유지합니다. 연료 효율이 높아 우주 탐사에 사용됩니다. 태양풍도 운동량을 가집니다. 태양 돛은 광자의 운동량을 받아 가속합니다. 광자는 질량이 0이지만 p = h/λ로 운동량을 가집니다. 혜성 꼬리는 태양풍 압력으로 태양 반대 방향을 향합니다. 중력 도움은 운동량 교환입니다. 탐사선이 행성 근처를 지나며 행성 궤도 운동량을 일부 받습니다. 행성은 엄청나게 무거워 속도 변화가 미미하지만 탐사선은 크게 가속됩니다. 보이저 탐사선이 목성과 토성의 중력 도움으로 태양계를 벗어났습니다. 운동량 보존은 대칭성과 연결됩니다. 뇌터 정리에 따르면 공간 병진 대칭성이 운동량 보존을 낳습니다. 물리 법칙이 위치에 무관하면 운동량이 보존됩니다. 각운동량 보존은 회전 대칭성에서 나옵니다. 에너지 보존은 시간 병진 대칭성입니다. 이 깊은 연결은 현대 물리학의 토대입니다. 운동량 보존은 가장 기본적이고 보편적인 법칙입니다. 원자 충돌부터 은하 충돌까지, 당구공부터 블랙홀까지 모두 따릅니다. 뉴턴이 발견한 법칙이 400년 후에도 물리학의 중심에 있습니다.